Родился в с.Орловка Микояновского района Курской области. До войны проживал в Чугуевском районе. Член ВКП(б) с 1940 г.Призван на действительную службу в 1936 г. Чугуевским РВК Приморского края. Воевал заместителем командира эскадрильи, затем командиром эскадрильи 136 штурмового авиационного полка 199 штурмовой авиационной дивизии 4 штурмового авиационного корпуса, в звании старшего лейтенанта. Воевал на 1 и 2 Белорусских фронтах. Находясь в составе 1 и 2 Белорусских фронтов с 24.06.1944 г.  произвел 17 успешных боевых вылетов по прорыву сильно укрепленной оборонительной линии немцев на Бобруйском направлении и на участке Осовец. 24.06.1944 г. с группой в составе 6 самолетов ИЛ-2, ведущими бомбардировочно-штурмовыми действиями уничтожил артиллерийские позиции немцев на переднем крае обороны в районе Фалевичи-Техиничи. Не смотря на сильный артиллерийский огонь, группа во главе со старшим лейтенантом Алексеенко сделала два захода над целью и уничтожила: 1 зенитную пушку, около 40 солдат и офицеров противника, был подавлен огонь полевой артиллерии и 2 зенитных орудия. Находясь в составе 4 Воздушной Армии 2 Белорусского фронта, Алексей Антонович своей самоотверженной и упорной работой добился боевых успехов в летной практике вождения групп на боевые задания. За это время 11 раз водил молодых летчиков на боевое задание по уничтожению живой силы и техники противника, не имея при этом ни одной потери. 13.08.1944 г. дважды водил  группу на боевое задание в районе Белограды. В результате его умелых действий было уничтожено до 9 батарей полевой артиллерии, 13 автомашин, разрушено 5 блиндажей, убито и ранено около 90 солдат и офицеров противника, подавлен огонь 2 зенитных орудий. 28.08.1944 г. выполняя успешное боевое задание в качестве ведущего пяти самолетов ИЛ-2 по уничтожению артиллерийских позиций на участке Тишки-Вишневск-Соколово под сильным воздействием огня из всех видов оружия, группа во главе с Алексеенко произвела 3 захода на цель. В результате было уничтожено до 6 орудий ЗА, подавлен огонь 2 орудий МЗА, убито и ранено до 40 солдат и офицеров противника.  Результат подтвержден фотоснимком.Награжден орденом Красного Знамени (приказ №64/н от 27.09.1944 г. Орден получил за успешное выполнение 17 боевых заданий командования).

Погиб в авиакатастрофе при выполнении боевого задания.

Похоронен в г.Найденбург Алленштайнского округа Восточной Пруссии.