Косан Мамутов родился 12 февраля 1922 года в селе Георгиевка (ныне — Коксаяк Толебийского района Южно-Казахстанской области Казахстана).

После окончания начальной школы работал в колхозе. В марте 1942 года Мамутов был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию.

С сентября того же года — на фронтах Великой Отечественной войны.
К февралю 1944 года гвардии красноармеец Косан Мамутов был пулемётчиком 336-го гвардейского стрелкового полка 120-й гвардейской стрелковой дивизии 3-й армии 1-го Белорусского фронта.

Отличился во время освобождения Гомельской области Белорусской ССР. 21 февраля 1944 года Мамутов одним из первых в своём подразделении форсировал Днепр в районе деревни Кистени Рогачёвского района и в бою на его западном берегу лично уничтожил несколько немецких пулемётов.

Во время боёв за освобождение Рогачёва Мамутов первым ворвался в немецкую траншею и уничтожил несколько солдат противника.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 июня 1944 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии красноармеец Косан Мамутов был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 1664.

Был также награждён орденами Октябрьской Революции и Отечественной войны 1-й степени, рядом медалей.

В 1945 году Мамутов окончил курсы младших лейтенантов. В 1946 году он был уволен в запас.

Проживал и работал сначала в Чимкенте, затем в Алма-Ате.

Скончался 25 сентября 1994 года, похоронен на Центральном кладбище Алма-Аты.

Почётный гражданин Рогачёва.