Алексей Григорьев родился 30 марта 1915 года в селе Средняя Ахтуба (ныне — посёлок в Среднеахтубинском районеВолгоградской области) в крестьянской семье. Окончил неполную среднюю школу. В январе 1943 года Алексей Григорьев и его брат Павел были призваны на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию и направлены на фронт Великой Отечественной войны. К сентябрю 1943 года ефрейтор Алексей был замковым, а сержант Павел Григорьев был наводчиком орудия 179-го истребительного противотанкового артиллерийского полка 3-й гвардейской армии Юго-Западного фронта. Отличились во время освобождения Запорожской области Украинской ССР.

26 сентября 1943 года расчёт Павла и Алексея Григорьевых совместно с пехотным подразделением отразил немецкую контратаку в районе села Магдалиновка Ореховского района, уничтожив 3 САУ «Фердинанд». В том бою Павел Григорьев получил тяжёлое ранение, но поля боя не покинул, продолжая сражаться.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года сержант Павел Григорьев был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

Алексей продолжил свой военный путь, участвовал в сражениях за Берлин, Вену. 24 июня 1945 года был удостоен чести участвовать в 1-ом Параде Победы на Красной площади, швырял тяжелое мокрое бархатное фашистское знамя к стене Кремля.

В октябре 1945 году Григорьев был демобилизован. Проживал в Волгограде, работал кузнецом на заводе "Баррикады", откуда и призывался.  Умер 10 октября 1974 года. Награжден 2-мя орденами Славы,был также награждён орденом Отечественной войны 2-й степени и рядом медалей.